数学ブログ

数学は、何のために何をやっているのか?

可換群は必ず環の加法群になるか?

観察

 整数全体のなす集合Zには、加法に関して可換群の構造\lt Z, + \gtが入るが、乗法をも加えた可換環\lt Z, +, \times, \gtの構造も入る。前者は、後者から演算\timesを忘れることによって得られる。一般に、任意の可換環 \lt R, +, \times \gtから、乗法を忘れて加法だけを考えることで、可換群\lt R, + \gtを得ることができる。

問題

 \lt R, + \gtを任意の可換群とする。この時、R上に\lt R, +, \times \gt を環にするような演算 \times:R \times R\rightarrow Rが存在するか?

解答

 反例が存在する。有理数全体の集合Qを加法に関して可換群と考え、この部分群ZQを割った可換群Q/Zを考える。これは、有理数全体の集合において、整数をすべて零とみなすことで得られる群である。

 もしもQ/Zに対して、乗法\times :Q/Z \times Q/Z\rightarrow Q/Zが存在して、Q/Zが環になるならば、乗法に関する単位元e\in Q/Zが存在しなければならない。e = \frac{s}{t}( s,t \in Z, t \gt 0)とおく(正確には、\frac{s}{t}\in Qであって、\frac{s}{t}のQ/Zにおける対応物がeである)。t\times e= s \in Zなので、teQ/Zでは0である。ここで、 \frac{t}{t+1} =e\times( t\times \frac{1}{t+1}) = (t\times e)\times \frac{1}{t+1}=0\times \frac{1}{t+1} = 0となるが、これは\frac{t}{t+1}が整数でないことと矛盾する。よって、このような乗法は存在しない。