数学ブログ

数学は、何のために何をやっているのか?

可換環

可換環の定義

可換環とは、集合Rと二種類の 演算+, \times :R\times R\rightarrow Rからなる組\lt R, +, \times\gtで、次の公理を満たすものである。

公理1. 加法について

 \lt R, +\gtは可換群である。

公理2.乗法について

 \lt R, \times \gtは、群の公理から逆元の存在を除いた2つの公理を満たす。すなわち、乗法単位元e\in Rが存在して、任意のx\in Rに対して、 e\times x = x\times e=xが成り立ち、また、任意のx,y,z\in Rに対して、(x\times y)\times z=x\times (y\times z)が成り立つ。

 また、乗法の可換性が成り立つ(これが可換環という名前の由来である)。つまり、任意の x,y\in Rに対して、 x\times y = y\times xが成り立つ。

公理3.加法と乗法の組み合わせについて

 任意の x,y,z\in Rに対して、x\times (y+z)=x\times y + x\times zが成り立つ。

基本的な用語

イデアル

R可換環とし、IRの部分集合とする。Iは、次の性質1, 2を満たすとき、イデアルという。

性質1.

 任意のa,b\in Iに対して、a+b\in Iが成り立つ。

性質2.

 任意の a\in I, r\in Rに対して、ra\in Rが成り立つ。

 イデアルは、「~の倍数」という概念の一般化である。例えば、整数全体のなす集合Zには可換環の構造が定義できるが、任意の整数xに対して、xの倍数全体の集合(x)イデアルとなる。

イデアル

 イデアルが「~の倍数」という概念の一般化だと書いたが、この観点で、素イデアル素数の一般化である。可換環Rイデアル pは、次の性質を満たすとき、素イデアルという。

性質.

 任意のa,b\in Rに対して、ab\in pならば、a\in pまたはb\in pが成り立つ。

 整数環Zにおいて、素数pの倍数全体の集合(p)は、素イデアルである。

古典的な例

可換環の起源には、代数体の整数環、代数関数体、多項式環の三つがある。

代数体の整数環

 x^2+2=y^3を満たす整数x,yを求めるという問題を考えよう。この式を(x+\sqrt{2}i)(x-\sqrt{2}i)=y^3と変形してみるのは自然である。ここで、考察する数の領域がZからZ[\sqrt{2}i]に移行した。Z[\sqrt{2}i]とは、a+b\sqrt{2}i (a,b\in Z)という形の数からなる集合で、可換環の構造を持っている。Zでは、0でないすべての元が一通りの素因数分解を持つが、Z[\sqrt{2}i]においても、Zにおける素数のような役割をする「素元」という概念があって、0でないすべての元が一通りに「素元」分解されることが示される。x+\sqrt{2}ix-\sqrt{2}iが互いに素であることも示せるから、(x+\sqrt{2}i)(x-\sqrt{2}i)=y^3ら、x+\sqrt{2}i, x-\sqrt{2}iそれぞれ何かの3乗になっていることがわかる。そこで、x+\sqrt{2}i=(a+b\sqrt{2}i)^3 (a,b\in Z)とおくと、係数を比較することによって、x=±5であることがわかり、このことから、方程式の解が(x,y)=(5,3),(-5,3)であることがわかる。
 ここで活躍したのが、Zを拡大したZ[\sqrt{2}i]という可換環と、この環における素元分解の一意性である。

 このように、整数の問題を考える時でも、整数でない数まで考察範囲を広げるとうまくいくことがあり、この時現れる「一般化された整数」の集合が、代数体の整数環である。
 次に、Z[\sqrt{5}i]という可換環を考える。この環においては、2,3,1\pm \sqrt{5}iが素元であることが証明できるが、6=2×3=(1+\sqrt{5}i)(1-\sqrt{5}i)と分解されるので、素元分解の一意性が成り立たない。これは不便であるが、クンマーは、理想数という仮想的な数を導入し、すべての元は理想数の積に一意的に分解されると考えた。この理想数に対して、数学的に厳密な存在論を与えたのがデデキントである。彼は、素イデアルを理想数に対応させ、「代数体の整数環においては、0でないイデアルは素イデアルの積としてただ一通りに表される」ということを証明した。

代数関数体

代数関数体とは、まず複素数体Cに一つの不定元zを付け加えた体C(z)を作り、この上で代数的な元wを一つ付け加えてできる体C(z)(w)である。C(z)は、\frac{f(z)}{g(z)}(f(z), g(z)zを変数とする一変数多項式で、g(z)\neq 0)という形の対象全体からなる体であり(体とは、可換環の一種で、0でない任意の元xが、乗法に関する逆元x^{-1}を持つものである)。wがこの上で代数的であるとは、C(z)係数のある多項式f(X)=X^n+a_0 X^{n-1}+\dots +a_{n-1}X+a_n(a_0, \dots, a_n \in C(z))が存在して、f(w)=0を満たすことである。この体にも、代数体における整数環のような環があり、そこでも、素イデアル分解の一意性が成り立つ。代数体の整数環も、この環も、どちらも抽象化すればデデキント環という種類の環であり、デデキント環では、素イデアル分解とその一意性が成り立つのである。

多項式環代数幾何学

 代数幾何学は、多項式の零点集合として定義される図形を研究する学問である。例えば、f(x,y)=x^2+y^2-1という多項式の零点集合\{ (x,y)\in R^2|f(x,y)=0\}は、原点を中心とする半径1の円を表す。ここで、自然に表れてくるのが多項式環という概念で、体kに対して、n個の変数x_1,...,x_nを持つ多項式全体の集合は可換環の構造を持ち、k[x_1,...,x_n]と書かれる。これをRとおく。f_1,...,f_n\in Rに対して、これらの共通零点の集合を V(f_1,...,f_n)=\{ (a_1,...,a_n)\in k^n | f_1 (a_1,...,a_n)=...=f_n (a_1,..., a_n)=0\}とおく。この種の集合が代数幾何学の研究対象である。 f_1,...,f_nの生成するイデアル\{ h\in R| \exists g_1,...,g_n \in R. h=g_1f_1+...+g_nf_n \}Iとおき、Iの全ての元の共通零点をV(I)とおくと、V(I)=V(f_1,...,f_n)となる。このように、代数幾何学は、可換環イデアルの言葉を基礎にして記述される。

その他の可換環

Mを可微分多様体とする時、MからRへの可微分写像をすべて集めたものは可換環になる。

スキーム

 Mを何らかの意味での空間とすると、Mから実数Rへの写像全体の集合は、可換環(関数環という)になる。逆に、Rを任意の可換環とすると、Rは必ずしも何かの空間の関数環として得られるとは限らないが、空間の概念を拡張することによって、Rはある広義の空間(アフィンスキームという)Spec Rの広義の関数環として捉えることができる。スキームとは、アフィンスキームを張り合わせてできる空間である。この観点で可換環幾何学的に研究する(また、幾何学代数学的に研究する)のが現代の代数幾何学であり、もともとの研究対象である多項式環に加え、代数的整数論デデキント環等も扱うことができ、整数論にも応用することができる(数論幾何学と言われる)。