数学ブログ

数学は、何のために何をやっているのか?

群の公理

 群とは、集合論的には、次の公理を満たす集合Gと関数\cdot:G\times G\rightarrow Gの組\langle G,\cdot\rangleである。たいていは、「群G」などと言って、集合Gの記号で群全体\langle G,\cdot\rangleを象徴する。

公理1.単位元の存在

 ある元e\in Gが存在して、任意の元x\in Gに対して、x= e\cdot x=x\cdot eが成り立つ。

公理2.逆元の存在

  任意のx\in Gに対して、あるy\in Gが存在して、x\cdot y=y\cdot x=eを満たす。このyxの逆元といい、x^{-1}と書く。

公理3.結合法則

 任意のx,y,z\in Gに関して、 (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)が成り立つ。

古典的な例

置換群

 群の具体例で簡単かつ歴史的に初期に現れたものは、有限個の対象の置換がつくる群である。例えば、1,2,3という三つの数字の列を考える。これに「1と2を入れ替える」という置換を作用させると、1,2,3が2,1,3になる。このような並べ替えは全部で3!=6個あり、これらすべてからなる集合には群の構造が入る。二つの置換a,bの積abは、bを適用した後でaを適用することとして定義する。この種の群は、代数方程式の解の公式に関する研究の中で現れ、この研究を完成させたガロアが「群」という用語を初めて使った。置換群では、ab=baは一般には成り立たない。例えば、1と2を入れ替える置換をa, 2と3を入れ替える置換をbとすると、ab1,2,3\rightarrow1,3,2\rightarrow2,3,1という変換を表すが、ba1,2,3→2,1,3→3,1,2という変換を表すから、abbaは異なる変換である。

アーベル群

 もう一つの例はZ/mZのような有限可換群(任意の要素a,bに対してa\cdot b = b\cdot aを満たす群を可換群やアーベル群という)であり、数論との関係でガウスが1801年ごろには考えていた(Zは、整数全体の集合を表す)。例えば、自然数mをとり、各整数nに対して、npで割ったときの余りをn mod mと書くことにする。n mod mの値は、計算上、m=0とおくことで計算できる。つまり、n=apm+r, a\in Z, r\in Z, 0\leq r\leq m-1と表示したとき、右辺でm=0とおけばam+r=0+r=rを得る。通常のZに対して、このようにm=0とみなしてできる集合をZ/mZと書く。これは、足し算に関して群になる(この集合には、足し算+と掛け算\timesが定義できるが、\timesではなく+の方を群演算とみなす)。この集合では、異なる元は0,1,...,m-1m個なので、Z/mZは有限群である。m-1より大きい数は、m=0であることからm+1=1,m+2=2,...となり、0,1,2,...,m-1のいずれかと一致する。群Z/mZにはいろいろな使い方があるが、例えば、4n+2(n\in N )の形の数が平方数にならないことが証明できる。仮に4n+2が平方数になるとすれば、4n+2=k^2(k\in Z)とおき、これを4=0の世界であるZ/4Zで見ると、2=k^2という式が得られる。しかし、kが偶数の時はk^2=0 mod 4であり、kが奇数の時はk^2=1 mod 4なので、いずれにせよk^2=2 mod 4とはならない。よって、4n+2は平方数にはならない。

変換群

 上記の2つの例はいずれも有限群(群構造をもった有限集合)だが、幾何学では無限群も考えられた。この研究をしたのは、クラインやリーである。当時、ユークリッド幾何学の他にも、非ユークリッド幾何学、射影幾何学と様々な幾何学があったが、これらに対して統一的な観点を提供したのがクラインの「エルランゲン・プログラム」(1872年)である。これは、幾何学を「ある変換群Gの作用の下での不変量を研究する学問」ととらえるものである。例えば、ユークリッド幾何学における「長さ」「面積」「角度」のような性質は、空間全体を拡大や縮小をせずに平行移動したり回転したりしても変わらない。ユークリッド幾何学は合同変換によって不変な性質を研究しているのだといえる。同様に、射影幾何学とは射影変換によって不変な性質を研究するのだ、という具合に、すべての幾何学を変換群と対応させるのである。

その他の群

基本群

ポアンカレは1895年、空間の基本群を定義した。例として、平面から原点Oを除いた空間Hを考える。Hのある1点xを基点として選んでおく。H上で、始点と終点がxである曲線のなす集合をGとする。ただし、Gの二つの曲線は、一方を連続的に変形することでもう一方に一致させることができるとき、同じ曲線であるとみなし、二つの曲線a,bの積abは、bの終点とaの始点を結びつけることで、baを連結させた曲線として定義する。こうして得られる群GHの基本群である。これはZと同型になる。aを群Gの元として、あなたが点xにいるとする。あなたは曲線aの両端を引っ張って、aを点xに回収しようとする。もしも回収できたならば、その曲線は、この群の単位元(ずっと点xにいて、そこから動かない曲線)と同じものである。もしも回収できないならば、aは原点Oの穴に引っかかっていることになる。ここで、aが原点Oにどのように巻き付いているのかを数えてみる。aOの周りを反時計回りにm周していればm、時計回りにm周していれば-mと数えることによって、aに整数mを対応させる。a,bを二つの曲線として、aには整数mが、bには整数nが対応する時、曲線abにはm+nが対応する。このような比較で、GZが群として同じ構造を持っていることがわかる。

ホモロジー群、コホモロジー

 これは主に幾何学で使われる群であり、任意の空間Sから位相不変量H_0(S),H_1(S),H_2(S),...を取り出すことができる。Sn次元多様体の時は、H_{n+1}(S)以降は自明群0になり、H_0(S)からH_n(S)までのn+1個が意味を持つ。二つの空間のホモロジー群を比較することで、それらの空間が同相でないことがわかることがある。例えば、次元の異なる球体S^mS^n(m≠n)が同相でないことが、これら二つの空間のホモロジー群が一致しないことからわかる。