数学ブログ

数学は、何のために何をやっているのか?

可換群は必ず環の加法群になるか?

観察 整数全体のなす集合には、加法に関して可換群の構造が入るが、乗法をも加えた可換環の構造も入る。前者は、後者から演算を忘れることによって得られる。一般に、任意の可換環から、乗法を忘れて加法だけを考えることで、可換群を得ることができる。 問…

可換環

可換環の定義 可換環とは、集合と二種類の 演算からなる組で、次の公理を満たすものである。 公理1. 加法について は可換群である。 公理2.乗法について は、群の公理から逆元の存在を除いた2つの公理を満たす。すなわち、乗法単位元が存在して、任意のに対…

群の公理 群とは、集合論的には、次の公理を満たす集合と関数の組である。たいていは、「群」などと言って、集合の記号で群全体を象徴する。 公理1.単位元の存在 ある元が存在して、任意の元に対して、が成り立つ。 公理2.逆元の存在 任意のに対して、あるが…

集合

集合という言葉は日常でもよく使われるが、数学用語としての集合も物の集まりを表現する概念である。これは、新しい概念を定義するときに便利な概念で、極端な立場からは、「すべての数学的対象は集合である」とも言われる。数学における集合の役割には、「…